Regresja krzywoliniowa

Regresję krzywoliniową obserwujemy, gdy związek pomiędzy zmienną objaśnianą a objaśniającą ma charakter nieliniowy.

Wśród modeli nieliniowych wyróżnić możemy modele sprowadzalne do modelu liniowego. Są to m.in.:

Model potęgowy:

$y=\alpha_0x^{\alpha_1}$

Model ten sprowadzamy do modelu liniowego poprzez zlogarytmowanie:

$log(y)=log(\alpha_0)+\alpha_1log(x)$

oraz podstawienie:

$v=log(y),~~~\beta=log(\alpha_0),~~~,z=log(x_1).$

W rezultacie otrzymujemy model:

$v=\beta+\alpha_1z$

Wartości parametrów modelu przekształconego możemy szacować np. za pomocą Metody Najmniejszych Kwadratów, przy czym wszystkie związane z tym rachunki wykonywane będą na wartościach przekształconych zmiennych.

Model wykładniczy

$y=\alpha_0\cdot\alpha_1^x,~~~\alpha_0,\alpha_1>0$

W tym modelu także w celu uzyskania liniowości logarytmujemy równanie:

$log(y)=log(\alpha_0\cdot\alpha_1^x)$.

Korzystając z własności logarytmu dostajemy:

$log(y)=log(\alpha_0)+log(\alpha_1)\cdot x$,

co po podstawieniu:

$v=log(y),~~~\beta_0=log(\alpha_0),~~~\beta_1=log(\alpha_1)$

sprowadza nas do modelu pożądanego modelu liniowego:

$v=\beta_0+\beta_1x$.

Model logarytmiczny

$y=\alpha_0+\alpha_1log(x),~~~x>0$

Model ten w sposób oczywisty sprowadza się do modelu liniowego poprzez podstawienie $z=log(x).$

Model hiperboliczny

$y=\alpha_0+\alpha_1\frac{1}{x},~~~x\neq0$

Aby sprowadzić model tej postaci do modelu liniowego wystarczy wykonać podstawienie $z=\frac{1}{x}$.

Analiza dopasowania modelu

W przypadku regresji krzywoliniowej stopnień zgodności wyznaczonego modelu $y=f(x)$ możemy mierzyć za pomocą współczynnika zgodności $\varphi^2$ danego wzorem:

$\varphi^2=\frac{\sum_{i=1}^n[y_i-f(x_i)]^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2}$

Współczynnik zgodności przyjmuje wartości z przedziału $[0,1]$. Informuje on, jaka część całkowietej zmienności zmiennej objaśnianej $Y$ jest wyjaśniana przez model. Innymi słowy współczynnik ten opisuje zgodność wyznaczonej linii regresji $y=f(x)$ z wartościami pochodzącymi z próby.

Im mniejsza wartość wspólczynnika $\varphi^2$, tym lepsze dopasowanie modelu do zmiennych rzeczywistych.

Miarą zgodności modelu z danymi empirycznymi jest także współczynnik korelacji krzywoliniowej $\Re$ zwany także wskaźnikiem korelacji. Wielkość wyraża się wzorem:

$\Re=\sqrt{1-\varphi^2}$.

Im wartość współczynnika $\Re$ bliższa $1$, tym lepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych.