Test U Manna-Whitneya

Test ten jest odpowiednikiem klasycznego testu t-Studenta dla prób niepowiązanych. Miarą tendencji centralnej dla tego testu jest nie średnia jak w przypadków testów t, a mediana.

Hipotezy alternatywną i zerową możemy zapisać następująco:

$H_0: F_1=F_2$ (próby pochodzą z jednej populacji)

$H_1: F_1\neq F_2$ (próby pochodzą z różnych populacji)

Statystyka testowa dla testu U Manna-Whitneya wyraża się wzorem:

$Z=\frac{U-\frac{n_1 n_2}{2}}{\sqrt{\frac{n_1 n_2 (n_1+n_2+1)}{12}}}$

gdzie:

• $U= R_1 - \frac{n_1 (n_1 +1)}{2}$,
• $R_1$ - suma reng elementów z pierwszej próby,
• $n_1, n_2$ - liczności odpowiednio pierwszej i drugiej próby.

Obszar krytyczne dla ustalonego $\alpha$ odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego. Dla tak postawionych hipotez jest to obszar obustronny.

Przykład:

W ramach badania adherencji terapeutycznej u pacjentów ze stabilną chorobą wieńcową chorych poproszono m.in. o odpowiedź na takie 2 pytania:

1. Jaka jest subiektywna ocena pacjenta pojawiających się dolegliwości bólowych (wg wizualnej skali analogowej VAS, gdzie 0 – brak bólu, 10 – ból najsilniejszy)?
2. Czy pacjent regularnie przyjmuje zlecone przez lekarza leki?

Odpowiedzi na obydwa pytania uzyskano od 1148 pacjentów z rozpoznaniem choroby wieńcowej.

Czy istnieje związek pomiędzy regularnym zażywaniem zleconych leków a subiektywną oceną pojawiających się dolegliwości bólowych? W szczególności, czy u pacjentów wykazujących się adherencją terapeutyczną w zakresie regularnego przyjmowania leków oceny stopnia nasilenia bólu są niższe?

Weryfikację hipotezy o braku istotnych statystycznie różnic w rozkładach subiektywnych ocen nasilenia bólu u pacjentów w obu grupach przeprowadzimy za pomocą testu U Manna-Whitneya.

Najniższą ocenę 0 wskazało 24 pacjentów, stąd rangę tej oceny obliczamy jako średnią arytmetyczną liczb całkowitych z przedziału [1,24]. Wyniesie ona $r_0=\frac{1+2+...+24}{24}=12,5$.

 Ranga oceny 1 będzie równa średniej arytmetycznej 82 kolejnych rang poczynając od 25 a kończąc na 106: $r_1=\frac{25+26+...+106}{82}=65,5$.

Analogicznie obliczamy rangi dla kolejnych wartości ocen otrzymując wyniki:

Suma rang dla pacjentów nie stosujących leków regularnie wyniesie:

$R_{Nie}=12,5 \cdot 4+65,5 \cdot 26+...+1146,5 \cdot 3=265 443$.

Stąd otrzymujemy:

$U= 265443 - \frac{433(433+1)}{2} = 171 482$.

Wartość statystyki testowej $Z$ wyniesie:

$Z=\frac{171482-\frac{433 \cdot 715}{2}}{\sqrt{\frac{433 \cdot 715 (433+715+1)}{12}}} \approx 3,06$.

Przy takiej wartości statystyki $Z$ hipotezę zerową mówiącą, że obie grupy pacjentów nasilenie bólowe oceniają tak samo, odrzucimy nawet dla bardzo wysokiego poziomu istotności $1-\alpha$, gdzie $\alpha<0,001$.

Z prawdopodobieństwem rzędu 99,9% możemy stwierdzić, że pacjenci przyjmujący leki zgodnie z zaleceniem lekarza oceniają nasilenie pojawiających się dolegliwości bólowych jako mniejsze.

Zależność tę przedstawiono graficznie na wykresie pudełkowym Min - Q1 (kwartyl dolny) –Me (mediana) - Q3 (kwartyl górny) - Max.

Wykres wygenerowano za pomocą programu R 2.15.2

Test U Manna-Whitneya jest powszechnie stosowany w różnego rodzaju analizach. Obok zastosowań medycznych, wykorzystywany jest m.in. w badaniach socjodemograficznych, marketingowych, badaniach opinii i wielu innych. Ze względu na brak konieczności spełnienia kłopotliwego założenia o normalności rozkładów, jest on prawdopodobniej najczęściej stosowanym testem jednorodności rozkładów.