Test niezależności chi kwadrat

Test niezalezności $\chi^2$ wykonuje się w celu zbadania związku pomiędzy dwoma zmiennymi nominalnymi $X$ i $Y$. Hipotezy zerową oraz alternatywną dla tego testu możemy zapisać następująco:

$H_0:$ Zmienne $X$ i $Y$ są niezależne.

$H_1:$ Zmienne $X$ i $Y$ nie są niezależne.

Test $\chi^2$ bazuje na porównaniu ze sobą wartości obserwowanych (otrzymanych w badaniu) a wartości teoretycznych (obliczonych przy założeniu, że pomiędzy zmiennymi nie ma żadnego związku). Duże różnice wskazują na istnienie zależności pomiędzy zmiennymi.

Jeśli założymy, że zmienna $X$ zmienia się na $k$ poziomach, a zmienna $Y$ na $s$ poziomach, to statystykę testową obliczymy korzystając z wzoru:

$\chi^2 = \sum\limits_{i=1}^k \sum\limits_{j=1}^s \frac{ (n_{ij} - {n^\prime_{ij })^2 }}{{n^\prime_{ij}}}$

gdzie:

• $n_{ij}$ - liczności obserwowane,
• $\acute{n_{ij}}$ - liczności teoretyczne.

Statystyka testowa przy założeniu prawdziwości $H_0$ ma rozkład $\chi^2$ o $(k-1)\cdot(s-1)$ stopni swobody.

Obszar krytyczny w tym teście jest obszarem prawostronnym $[\chi^2_{\alpha},\infty)$, gdzie $\chi^2_{\alpha}$ jest wartością odczytaną z tablic rozkładu $\chi^2$ dla ustalonego $\alpha$.

Przykład:

W ramach programu edukacyjnego dotyczącego antybiotykoterapii zadano pacjentom pytanie: „Czy antybiotyki działają na wirusy?”. Respondenci mieli możliwość wskazania jednej z trzech odpowiedzi: „Tak”, „Nie” lub „Nie wiem”.

Rozkład udzielanych odpowiedzi (liczności obserwowanych) wśród kobiet i mężczyzn przedstawia tabela:

Lp. pacjenta	Nie	Nie wiem	Tak	Suma
Kobieta	2789	770	455	4014
Mężczyzna	2243	744	389	3376
Suma	5032	1514	844	7390

 

 

 

 

Czy istnieje zależność pomiędzy rodzajem udzielanych odpowiedzi, a płcią pacjenta? Innymi słowy, czy mężczyźni lub kobiety wykazali się większą wiedzą w poruszanej kwestii?

Aby udzielić odpowiedzi na to pytanie, wykonamy test niezalezności $\chi^2$.

Liczebność teoretyczną kobiet, które udzieliły odpowiedzi „Nie” obliczamy w następujący sposób:

$n_{Kobieta,Nie} = \frac{4014 \cdot 5032}{7390} \approx 2733$.

Dla pozostałych par wykonujemy analogiczne obliczenia. Zestawienie otrzymanych liczności teoretycznych przedstawia tabela. 

Lp. pacjenta	Nie	Nie wiem	Tak
Kobieta	2733	822	458
Mężczyzna	2299	692	386

Statystyka testowa obliczona na podstawie tych danych przyjmie wartość:

$\chi^2=9,84$,

co oznacza istotną zależność pomiędzy płcią pacjenta a rodzajem udzielanych przez niego odpowiedzi przy $\alpha<0,05$.

O teście $\chi^2$ można także powiedzieć, że bada istotność różnic w strukturach procentowych. W naszym przypkładzie byłaby to analiza różnic w strukturach procentowych udzielania poszczególnych odpowiedzi wśród kobiet i mężczyzn.

Procentowy udział każdej z odpowiedzi wśród kobiet i mężczyzn przedstawia wykres:

Interpretując dane zobrazowane na wykresie możemy stwierdzić, że prawidłowych odpowiedzi - "Nie" - częściej udzielały kobiety. Test $\chi^2$ potwierdził, że różnice te są istotne.