Tag: statystyka (16)

Podobnie jak metoda wyrównania wykładniczego, tego typu metody analizy statystycznej stosowane są w przypadku, gdy badana zmienna ulega nagłym zmianom.

Dla danego szeregu czasowego y1,y2,..,yn oraz arbitralnie ustalonej stałej wygładzania k < n szacuje się na podstawie kolejnych fragmentów szeregu:

y1..yk, y2..y(k-1), ......, y(n-(k+1))... yn,

parametry liniowej funkcji trendu.

Niech będą to funkcje:

f1(t)=a1+b1*t dla 1
f2(t)=a2+b2*t 2
...................................................
fn(t)=an+bn*t dla n-k < t 

Dla dowolnego t(1

fj(t)=aj+bj

Są to mianowicie proste dla których:

d(t) < j < g(t)

Gdzie:

d(t)= 1 dla t= 1...k t-k+1 dla
g(t)= t  dla t = 1...n-k n-k+1 dla t=n-k+2... n 

Metoda ta dobrze nadaje się do prognozowania bezrobocia ponieważ badana cecha charakteryzuje się różnokierunkowymi nieregularnymi wahaniami.

Skorzystaj z pomocy statystycznej specjalistów!

Częstym problemem przed jakim staje badacz po zbudowaniu modelu statystycznego, jest pytanie czy wnosi on jakąś wartość poznawczą. Modele klasy logit oraz probit dają ekonometrykowi szereg testów oraz miar dopasowania, w oparciu o które możliwa jest wiarygodna ocena jakości modelu.

Prognozowanie upadłości przedsiębiorstw

Jest to szczególnie ważny model w przypadku prognozowania upadłości. Jego zastosowanie pozwala w porę wykryć tego typu ryzyko.

Potencjalne skutki błędnych prognoz

Błędy prognozy w przypadku przewidywania upadłości która nie będzie miała miejsca naraża decydentów w najlepszym przypadku na poważne straty czasowe oraz błędnie podejmowane decyzje (pod presją groźby upadłości fałszywie wykrytej przez model). O wiele bardziej niebezpieczny jest przypadek bezgranicznej wiary we wskazania modelu, który byłby błędnie skonstruowany.

W przypadku wskazania poprawnej sytuacji przez model w sytuacji rzeczywistego zagrożenia czujność decydentów jest uśpiona, co znacznie opóźnia możliwość podjęcia procesów naprawczych. Uwagi te prowadzą do wniosku, iż testy istotności modelu oraz badanie jego dopasowania są bardzo ważnym elementem modelowania, na który należy zwrócić szczególną uwagę.

Podsumowanie

Dla modeli klasy logit oraz probit istnieje szereg testów. Podstawowym jest test zbiorowy dla wszystkich parametrów modelu. Test ilorazu wiarygodności (likelihood-ratio test) jest powszechnie stosowanym testem w modelach logitowych. Bazuje on na statystce chi-kwarat.

Powszechnie stosuje się również test chi-kwadrat Pearsona, badający zależność pomiędzy obserwowanymi wartościami zmiennej zależnej a wartościami przewidywanymi.

Pozyskane informacje w procesach badawczych należy we właściwy sposób zinterpretować, a co za tym idzie należy wykorzystać odpowiednie narzędzia badawcze, które pozwolą na wyciągnięcie konkretnej wiedzy z posiadanych wniosków. W tym celu korzysta się z statystyki, która jest nauką odnoszącą się do metod badania prawidłowości. Dziedzina to odnosi się do procesów masowych oraz zajmuje się ich ilościową bądź jakościową analizą.

Nauka, która pozwala podjąć działanie

Przeprowadzane analizy mają posłużyć do polepszenia procesów decyzyjnego, a więc do zwiększenia skuteczności podejmowanych działań. Statystyka dzieli się na:

• statystykę opisową;
• wnioskowanie statystyczne.

Druga z nich dotyczy metod wnioskowania, które dotyczą całej populacji przy zbadaniu tylko jej części tzw. próby. Natomiast pierwsza koncentruje się na metodach gromadzenia, opracowywania i prezentacji danych oraz dokonania ich sumarycznego opisu.

Informacje w centrum zainteresowania

Przeprowadzanie badań statystycznych stanowi zespół czynności, które skoncentrowane są na pozyskiwaniu informacji charakteryzujących badaną zbiorowość statystyczną, czyli populację. Populacja ta oprócz cech wspólnych posiada także cechy różnicujące.  Co więcej badanie takie ma dwa warianty:

• pozwala wykryć;
• potwierdza istnienie

badanych prawidłowości statystycznych. Zbiór danych, które zostały uzyskane w procesie obserwacji statystycznej nazywany jest materiałem statystycznym, który można podzielić na:

• pierwotny – są to dane gromadzone specjalnie dla celów określonego badania;
• wtórny – są to dane gromadzone dla innych celów, ale wykorzystywane w prowadzonym badaniu.

Decyzje powinny mieć dobre uzasadnienie

Statystyka posiadając szereg wyspecjalizowanych narzędzi potrafi wydobyć informacje, które będą przydatne w prowadzonej działalności. Uzyskane dane należy wykorzystać w taki sposób, aby usprawnić podejmowane decyzje. Na przebieg badania statystycznego składają się takie etapy jak:

• przygotowanie badania;
• obserwacja statystyczna;
• opracowanie i prezentacja materiału statystycznego;
• analiza statystyczna.

Badanie z widokiem na przyszłość

Przeprowadzanie procesów statystycznych związane jest z opracowaniem i analizą bardzo dużych baz danych. Stąd też w procesach tych korzysta się z programów komputerowych, które minimalizują czas potrzeby na opracowanie i analizę pozyskanych danych. Mówiąc o statystyce mówi się o nauce, która ma przynieść wymierne korzyści i przyczynić się do wzrostu podmiotu, dla którego przeprowadzane jest badanie.

Jedną z podstawowych cech jakie wyróżniamy w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa jest występowanie pewnego losowego zdarzenia. W fizyce klasycznej prawdopodobieństwo nie odgrywa praktycznie żadnej roli (z wyjątkiem mechaniki statystycznej) - znane z kursów fizyki dociekania Newtona (oraz m.in. Einsteina) zakładają, że ruch cząstki jest w czasie i przestrzeni całkowicie zdeterminowany. Istotnie: gdy posiadamy pełną informację o danym układzie to potrafimy przewidzieć wg prawideł mechaniki klasycznej jego zachowanie w dowolnej chwili w czasie t. Mechanika klasyczna bardzo dobrze sprawdza się dla obiektów bardzo dużych - efekty związane z prawdopodobieństwem są praktycznie pomijane.

Nieco inaczej sprawa wygląda w mikroskali - do głosu dochodzą zjawiska kwantowe oraz przewidywania dotyczące położenia ciała, np. elektronu, można opisać tylko za pomocą pewnych rozkładów prawdopodobieństwa wystąpienia danego zdarzenia. W analizie statystycznej mamy do czynienia z rozkładami prawdopodobieństwa, które w najprostszym przypadku opisane są za pomocą krzywej dzwonowej Gaussa - w mechanice kwantowej położenie, pęd i inne wielkości opisujemy za pomocą rozkładów prawdopodobieństwa, które mają zaskakująco wiele cech ze znanymi ze statystyki wielkościami.

Kwantowy wymiar statystyki

W mechanice kwantowej stan obiektu jest zdefiniowany poprzez funkcję falową, której kwadrat modułu opisuje zajście prawdopodobieństwa danego zdarzenia. Na warsztat weźmiemy funkcję falową cząstki w jamie potencjału - jest to model w którym cząstka porusza się swobodnie, ale jest przy tym ograniczona ściankami o nieskończonej wysokości (czyli aby przekroczyć tą „przeszkodę” cząstka musi mieć nieskończenie wiele energii), które ustawiono w odległości L. Nasza funkcja falowa będzie opisana następująco:

Zakładamy też, że spełnione są warunki brzegowe:

Inaczej mówiąc: cząstka ma zerowe prawdopodobieństwo, że znajdzie się przy brzegach pudła (przy ścianach). W powyższym wzorze n oznacza liczbę kwantową. Podstawiając L=1 otrzymujemy pudło długości L. Im większa wartość n tym więcej węzłów w tym obszarze się pojawi.

Wykres tej funkcji falowej wygląda następująco:

Kwadrat funkcji falowej daje nam informacje gdzie „najłatwiej” dopaść elektron - czyli gdzie najprawdopodobniej będzie przebywał (nie mogą istnieć ujemne prawdopodobieństwa)!

Prawdopodobieństwo tego, iż znajdziemy obserwablę w danym miejscu przestrzeni jest łatwe do znalezienia. W naszym przykładzie podstawiając L=1 i n=1 otrzymujemy krzywą a’la krzywa dzwonowa. Teraz zadajmy pytanie - jakie jest prawdopodobieństwo tego, że elektron będzie przebywał w obszarze L/2 i L/4?

Mając funkcje falowe łatwo obliczać również wartości średnie, którymi operuje klasyczna analiza statystyczna - na przykład średnia odległość elektronu od ścianek:

I jak spojrzymy na wykres kwadratu funkcji falowej to istotnie największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki występuje dla wartości x= 0,5 L.

Na rysunku pokazaliśmy jak wygląda wykres gęstości prawdopodobieństwa dla prostego modelu oscylatora harmonicznego. Widzimy, że w niektórych miejscach „łatwiej” spotkać cząstkę a w innych mniej.

Tak jak wspomniano wyżej: w mechanice kwantowej mamy do czynienia z falami prawdopodobieństwa wystąpienia danego zjawiska. Aby otrzymać funkcje falowe musimy rozwiązać Równanie Schrödingera. Równanie to jest równaniem własnym następującej postaci:

W powyższym zapisie  jest operatorem energii (hamiltonian), natomiast E jest energią. Równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowym dla którego znane są rozwiązania analityczne tylko dla najprostszych modelowych problemów mechaniki takich jak: cząstka swobodna, cząstka w pudle, oscylator harmoniczny, atom wodoropodobny, model Moshinsky’ego i Hooke’a. Hamiltonian, który opisaliśmy na początku niniejszego akapitu najczęściej jest złożony zawierając człon energii kinetycznej i potencjalnej. Na przykład:

We wzorze powyższym druga pochodna oznacza miarę krzywizny funkcji falowej - im jest większa tym energia kinetyczna jest większa. W statystyce im rozkład normalny jest bardziej „stromy” (im większa krzywizna) w danej próbie to tym mniejszy rozrzut wartości obserwujemy.

Zamiast podsumowania

Ten krótki artykuł miał na celu zobrazowanie, że statystyka matematyczna oraz mechanika kwantowa są ze sobą bardzo blisko związane - mechanika kwantowa korzysta pełnymi garściami z odkryć analizy statystycznej. Warto w tym miejscu zaznaczyć, iż w statystyce bardzo często rozpatrujemy dyskretne zbiory wartości, natomiast funkcje używane w mechanice kwantowej są ciągłe.