Analizy statystyczne a fizyka kwantowa

Jedną z podstawowych cech jakie wyróżniamy w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa jest występowanie pewnego losowego zdarzenia. W fizyce klasycznej prawdopodobieństwo nie odgrywa praktycznie żadnej roli (z wyjątkiem mechaniki statystycznej) - znane z kursów fizyki dociekania Newtona (oraz m.in. Einsteina) zakładają, że ruch cząstki jest w czasie i przestrzeni całkowicie zdeterminowany. Istotnie: gdy posiadamy pełną informację o danym układzie to potrafimy przewidzieć wg prawideł mechaniki klasycznej jego zachowanie w dowolnej chwili w czasie t. Mechanika klasyczna bardzo dobrze sprawdza się dla obiektów bardzo dużych - efekty związane z prawdopodobieństwem są praktycznie pomijane.

Nieco inaczej sprawa wygląda w mikroskali - do głosu dochodzą zjawiska kwantowe oraz przewidywania dotyczące położenia ciała, np. elektronu, można opisać tylko za pomocą pewnych rozkładów prawdopodobieństwa wystąpienia danego zdarzenia. W analizie statystycznej mamy do czynienia z rozkładami prawdopodobieństwa, które w najprostszym przypadku opisane są za pomocą krzywej dzwonowej Gaussa - w mechanice kwantowej położenie, pęd i inne wielkości opisujemy za pomocą rozkładów prawdopodobieństwa, które mają zaskakująco wiele cech ze znanymi ze statystyki wielkościami.

Kwantowy wymiar statystyki

W mechanice kwantowej stan obiektu jest zdefiniowany poprzez funkcję falową, której kwadrat modułu opisuje zajście prawdopodobieństwa danego zdarzenia. Na warsztat weźmiemy funkcję falową cząstki w jamie potencjału - jest to model w którym cząstka porusza się swobodnie, ale jest przy tym ograniczona ściankami o nieskończonej wysokości (czyli aby przekroczyć tą „przeszkodę” cząstka musi mieć nieskończenie wiele energii), które ustawiono w odległości L. Nasza funkcja falowa będzie opisana następująco:

Zakładamy też, że spełnione są warunki brzegowe:

Inaczej mówiąc: cząstka ma zerowe prawdopodobieństwo, że znajdzie się przy brzegach pudła (przy ścianach). W powyższym wzorze n oznacza liczbę kwantową. Podstawiając L=1 otrzymujemy pudło długości L. Im większa wartość n tym więcej węzłów w tym obszarze się pojawi.

Wykres tej funkcji falowej wygląda następująco:

Kwadrat funkcji falowej daje nam informacje gdzie „najłatwiej” dopaść elektron - czyli gdzie najprawdopodobniej będzie przebywał (nie mogą istnieć ujemne prawdopodobieństwa)!

Prawdopodobieństwo tego, iż znajdziemy obserwablę w danym miejscu przestrzeni jest łatwe do znalezienia. W naszym przykładzie podstawiając L=1 i n=1 otrzymujemy krzywą a’la krzywa dzwonowa. Teraz zadajmy pytanie - jakie jest prawdopodobieństwo tego, że elektron będzie przebywał w obszarze L/2 i L/4?

Mając funkcje falowe łatwo obliczać również wartości średnie, którymi operuje klasyczna analiza statystyczna - na przykład średnia odległość elektronu od ścianek:

I jak spojrzymy na wykres kwadratu funkcji falowej to istotnie największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki występuje dla wartości x= 0,5 L.

Na rysunku pokazaliśmy jak wygląda wykres gęstości prawdopodobieństwa dla prostego modelu oscylatora harmonicznego. Widzimy, że w niektórych miejscach „łatwiej” spotkać cząstkę a w innych mniej.

Tak jak wspomniano wyżej: w mechanice kwantowej mamy do czynienia z falami prawdopodobieństwa wystąpienia danego zjawiska. Aby otrzymać funkcje falowe musimy rozwiązać Równanie Schrödingera. Równanie to jest równaniem własnym następującej postaci:

W powyższym zapisie  jest operatorem energii (hamiltonian), natomiast E jest energią. Równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowym dla którego znane są rozwiązania analityczne tylko dla najprostszych modelowych problemów mechaniki takich jak: cząstka swobodna, cząstka w pudle, oscylator harmoniczny, atom wodoropodobny, model Moshinsky’ego i Hooke’a. Hamiltonian, który opisaliśmy na początku niniejszego akapitu najczęściej jest złożony zawierając człon energii kinetycznej i potencjalnej. Na przykład:

We wzorze powyższym druga pochodna oznacza miarę krzywizny funkcji falowej - im jest większa tym energia kinetyczna jest większa. W statystyce im rozkład normalny jest bardziej „stromy” (im większa krzywizna) w danej próbie to tym mniejszy rozrzut wartości obserwujemy.

Zamiast podsumowania

Ten krótki artykuł miał na celu zobrazowanie, że statystyka matematyczna oraz mechanika kwantowa są ze sobą bardzo blisko związane - mechanika kwantowa korzysta pełnymi garściami z odkryć analizy statystycznej. Warto w tym miejscu zaznaczyć, iż w statystyce bardzo często rozpatrujemy dyskretne zbiory wartości, natomiast funkcje używane w mechanice kwantowej są ciągłe.